Tengo una idea...

Cuando nos decidimos por un sujeto en origami ¿Por qué lo elegimos?
Para esa pregunta hay una infinidad de respuestas, por lo general yo los elijo porque me imagino los detalles en origami o mas bien lo que me gustaría lograr…
Un día revisando un diccionario ilustrado que tengo para mis consultas de lenguaje me encontré con una foto, para ser mas exacto con la ilustración de un camello y me gusto tanto el dibujo que decidí intentar diseñar uno

Como ya dije habitualmente elijo mis modelos por como me imagino los detalles ¿y esto como se puede llegar a proyectar en la cabeza?
Con un poco de memoria y observación podemos ir almacenando partes y partes, la idea siempre va a ser saber lo que queremos obtener, y para el caso de un cuadrúpedo vamos a evitar por obviedad como nos imaginamos las patas y la cola (como sacarlas otro cuento), pero lo que mas me importaba eran las jorobas y pensemos un momento y aunque muy lógica puede ser la pregunta, ¿de donde las vamos a sacar?
La respuesta es simple y parece

obvia dentro del sistema de trabajo que estamos visualizando (un sistema netamente simétrico) la cual es desde el centro del papel…

Y ahora ¿como las quiero?
Sabiendo que las jorobas salen del centro lo primero que pensé fue que salieran definitivamente 2 puntas desde el centro y no dos esbozos de puntas como podrían ser secciones de 45 grados como lo hacen algunos…
Ahora voy a detallar el proceso de análisis y el uso de algunas estructuras que hemos tratado anteriormente y un arreglo bastante útil que veremos de donde sale y como se construye.
Lo primero que pensé fue en una base blintz-pájaro ¿y porque esa? Como nosotros somos observadores y conocemos perfectamente como es una base pájaro sabemos que una base blintz-pájaro que tiene en total 4 puntas pequeñas mas 9 puntas largas (pasamos por alto el análisis de longitudes ya que ya fue analizado anteriormente) una de las cuales sale del centro del papel y eso ya suple uno de los objetivos.

Ahora analicemos que nos sirve, que no y que nos falta…
Teniendo en cuenta que nuestro modelo tendrá orientación diagonal observamos que la punta central será la que ocuparemos para la joroba, las 2 laterales las usaremos para las patas, una de las esquinas será la cabeza y de las puntas pequeñas usaremos dos para los mechones de pelo sobre las patas delanteras… nos damos cuenta que la gran mayoría de las puntas no nos sirven pero ya tenemos solucionados varios problemas. Ahora que nos falta? 
Nos falta medio camello que para los efectos de no complicar el diseño lo que decido es tomar otra blintz-pájaro de las cuales decido ocupar la punta central para la joroba, las puntas laterales para las patas traseras y 2 puntas pequeñas nos darán la posibilidad de generar los muslos. 
Como las insertamos en un mismo papel?
 Esto lo hemos hecho antes y siempre recomendaré para efectos de inserción de bases (a menos que ya tengas experiencia y reconozcas o seas capas de proyectar los resultados) que las bases insertadas sean iguales y luego ir cambiando las proporciones.
Entonces tenemos esto…

Sabemos que mucho de esto no sirve, así que hay que eliminarlo y a la vez conectar nuestras 2 bases y esto lo haremos de la siguiente manera.

¿Logras notar que la estructura que hemos utilizado para conectar la describimos en entradas anteriores?
Si bien es cierto esto aun no esta compensado y solo es la idea de la conexión tenemos que probarla y encontrar la manera de estabilizarla. El siguiente dibujo es la idea compensada.

A veces debe costar un poco a simple vista notar que nuestro camello esta un poco largo de cuerpo pero al momento de doblar el patrón se puede apreciar que las jorobas están bastante distantes entre si.
¿Entonces como lo arreglamos?
Lo que debemos hacer es redefinir la proporción. Como ya vimos en un principio cuando insertamos las bases estas estaban ubicadas respecto de los puntos medios de los lados del cuadrado. Correcto?
Eso significa que se podían localizar con el simple hecho de doblar las diagonales o doblar las mediatrices siendo cualquiera de las dos anteriores una condición suficiente para su localización.
Entonces podríamos cambiar la proporción y así acortar el tronco del camello y para visualizar esto recomiendo ver la siguiente foto.

Para esa foto he tomado una proporción arbitraria y solo para que se vea como se mantiene la misma estructura que hemos predicho y como las partes de nuestro camello se han acercado entre si.
Luego de un par de pruebas me decido por una proporción en función de raíz de dos y localizo la estructura de nuevo y pliego tal cual para seguir con los otros detalles.

Hay ocasiones en donde se puede saber perfectamente que es lo que vamos a obtener y determinar completamente los radios de las puntas que definen nuestro modelo, pero hay otros casos en donde eso no es posible y es en esos casos en donde solo la observación y nuestra percepción del entorno son las que nos ayudan, o simplemente complejizar mas el cuento determinando el modelo a partir de las medidas de los rasgos reales, como se haría con el métodos de círculos y ríos…
Hagamos el siguiente ejercicio.

En la primera figura se presenta una media base pájaro estirada, la segunda imagen es la misma base pero presentada con otra distribución de capas, la tercera figura ya es la decisiva y la mas importante y es necesario observarla con calma… notemos como la segunda figura es expandida a un rectángulo el cual a sido compensado con pliegues solo en orientación de 22,5º para un perfecto ensamble en 2 dimensiones, además de darnos un punto el cual divide la estructura en dos partes iguales que son perfectamente independientes una de la otra con lo que se puede lograr la cuarta y ultima figura.
El cuarto dibujo se nos hace algo familiar (cierto?) si no es así quizás la siguiente imagen refresque tus memoria…

Luego de leer esto ya tienes algo que no se usa todos los días pero que con un poco de ingenio puede salvar mas de un modelo… en la figura anterior distinguimos 2 configuraciones que ya había tratado y anteriormente habíamos dicho que la única diferencia era el tipo de sección que arrojaban en nuestro modelo, y ahora…
Sorpresa! Ya tenemos otra configuración que hace exactamente lo mismo que las dos primeras pero que las secciones son las determinantes de su diferencia (pruébalo! Es muy interesante comprender su construcción y sus usos)
¿Y lo ultimo para que?
Ya que hemos conectado nuestro modelo con la segunda estructura de la lámina anterior consideré que la sección para generar las partes laterales del animal no era suficiente para cubrir un área decente para generar el vientre, entonces ocupo la tercera configuración y ahora esto lo doblamos análogamente al diseño preliminar.

Llegando ya a este punto y para los aplicados que doblen los Cps y en especial el de la última lámina podrán notar que solo nos falta definir la cabeza y la cola en lo que se refiere a las partes fundamentales…
Luego hay que terminar de definir cada sección visible de nuestro modelo o lo que vendría siendo en otras palabras darle la vida que necesita nuestro doblado para parecer lo que queremos representar.

Este ya es el plano final en donde aparecen todas las secciones definidas y vemos como una simple base con la que hemos empezado se puede convertir en un hermoso plano lleno geometría!
¿Lograr ver partes iniciales?
Para los que puedan obtener el libro de la convención 15 de Tanteidan pueden intentar doblar este modelo de manera secuenciada y para los que no lo puedan obtener pueden intentar a partir del plano de desarrollo que deje anteriormente.

Nicolás Gajardo Henríquez

Flojo

Hace tiempo que no me daba una vuelta por estos lugares, pasa que a veces peco de flojo, pero no de ese flojo letárgico, si no que a veces me ocurre que me dedico solo a inventar y inventar, estudiar y estudiar y nunca a plegar modelos que me gustan y que de cierto modo son bastante especiales a la hora de sumar y sacar las cuentas en estos casi cuatro añitos recién cumplidos de papiroflecta (que siútica esa palabra).
cuando recién empezaba la tercera figura que invente fue un león, figura que pueden verla en la galería de origami chile y los diagramas en la convención de valencia 2006, el cuento es que esa figura me marcó y no porque fuera bonita ni nada por el estilo sino que fue la que me enseño a crear (cosa que no se aprende ni en los libros ni en los blogs).


hace un tiempo este año recordando ese león y mis intentos fallidos volvió a mi memoria que el objetivo principal era que tuviera cambio de color en la melena, cosa que no ocurrió por mi nula experiencia en cambios de colores....
pero siendo bien sincero son pocos los que tienen ese don innato de la "bicoloridad" en el papel, aparte que es a veces bien difícil viviendo en un mundo donde la mayoría de las cosas no tienen 2 colores...

bueno, llego el momento en el que tenia mas experiencia, ya tenia mas pelitos y mi cabeza en origami funcionaba distinto, así que me decidí a crear un nuevo león, que lo único en común con el primero es que los dos son leones (y eso si es bueno)...

Ahora llegamos al 2009 y se nota como he aprendido cosas nuevas, para los mas entendidos en cps y si es que alguien se anima a doblar esta figura (u.u) notara que las proporción que presenta no es sencilla y esto se debe a que obedece fuertemente a la proporcionalidad en raíz de 2, y fue necesario una buena dosis de pruebas y error para encontrar la proporción que mas se acomodaba a lo que quería obtener.

y es así como lo he doblado nuevamente un par de veces para arreglar algunos detalles y yo mismo convencerme. Y como la vida es loca doble´ este ultimo para que se fuera dar una vuelta a España jolines! y no crean que uno es tan flojo...

Puntos de salida

Que pasa cuando nos enfrentamos a un modelo el cual tiene algunos requerimientos especiales más allá de la cantidad de puntas, si no que requiere cuidado en la distribución de estas. Si nos damos tiempo para pensar y revisar lo que tenemos hasta ahora (mirándolo desde el punto de vista de este Blog) nos damos cuenta que hemos utilizado solo bases conocidas y que las hemos hecho actuar de manera conjunta sin que nos preocupemos mas que por la cantidad de puntas que nos entregan y un poco de espacio entre ellas, ¿pero podemos manejar longitudes de una base que queramos construir?

Llamaremos puntos de salida a aquellos puntos en los cuales se esta liberando una aleta en nuestro papel.

Comenzaremos con un triangulo cualquiera, la manera de pegar esta figura es bastante simple y consiste en doblar sus bisectrices y sus puntos de salida están dados por la línea perpendicular a sus lados que sale desde el incentro.

En rigor no es la única forma de plegar un triangulo, pero si es la única forma de doblarlo y que quede plano o en otras palabras que sus segmentos liberados estén sobre un mismo eje y eso es lo que nos importa. El pliegue que hemos generado es conocido por todos y para el que no lo sepa por ponerle nombre algún sujeto lo nombró pliegue oreja de conejo. La secuencia y el triangulo mostrado son solo para hacer una generalidad, pero a partir de este pliegue podemos construir todas las bases tradicionales.

Si tomamos un cuadrado unidad y aplicamos el mismo sistema, ya sea dividiéndolo en triángulos o como cuadrilátero es posible aplanarlo sin problema, ahora ¿podemos manejar las longitudes de este cuadrado?

Hay que tener en claro que la acción de manejar las longitudes no generará segmentos totalmente independientes, esto significa que un segmento es la consecuencia de otro. Observemos la base pez y noten como he tomado sus líneas fundamentales y las he reducido de escala progresivamente hasta 0 y he logrado la base bomba de agua.

¿Interesante u obvio?

Si aislamos la figura es sencillo ver lo que pasa y como se comporta el punto de salida que sigue saliendo desde el incentro.

Lo que hemos hecho es solo una particularidad, pero nos permite hacernos una idea de cómo un segmento influye en el otro y a la vez darnos luces de los elementos necesarios para lograr una generalización, ahora hagamos lo mismo con la base pájaro.

Si tomamos un cuadrilátero cualquiera con bisectrices que llegan a un único punto en él entonces es posible ensamblarlo de la misma manera que la base bomba de agua.

Observemos los siguientes diagramas de círculos para nuestro cuadrilátero, podemos ver como los círculos en el primero son tangentes entre ellos indicando así el radio de acción de cada punta, en la segunda figura vemos que los puntos tangentes a la circunferencia inscrita en el cuadrilátero son los mismo que delimitan el actuar de los segmentos.

Ahora veamos que dentro del mismo cuadrilátero podemos inscribir distintos tipos de diagramas de círculos tangentes entre si.

Elegiremos uno al azar y lo haremos cumplir con las condiciones dispuestas por los círculos

Vemos que la orientación que hemos elegido es completamente posible de doblar, y si bien es cierto que es un poco minucioso el doblado de esta, las ventajas en cuanto a distribución de segmentos son importantes. Es importante decir que esta no es la única manera de conseguir esta misma distribución, pero si la que personalmente me gusta. Ahora, si miramos el plano de la estructura que hemos generado observaremos que las longitudes de los segmentes son dirigidas desde las cúspides de los dos triángulos en el centro de la estructura y que en si esta funcionando de la misma manera que los sistemas en 22,5 grados descritos en las entradas anteriores con triángulos de compensación.

Continuara…

Puntos constructibles y origami

La pata que le faltaba a la construcción geométrica

El origami hace mucho tiempo que dejo de ser un arte netamente figurativo, cuantos de nosotros no hemos escuchado que el origami es el espacio donde el arte y la ciencia se conectan, bueno esta será una entrada dedicada a esta frase y a las posibilidades que nos ofrece el origami para nuestros propósitos de construcción geométrica de proporciones.

Lo primero que debemos conocer y dominar es la axiomática presente en cada modelo que doblamos y aprenderemos a aplicarla de manera de obtener resultados interesantes del punto de vista práctico y analítico.

Los axiomas del origami son 6 y se los debemos al Italo-japonés Humiaki Huzita, el cual ha hecho las siguientes formulaciones

Los axiomas van en orden de complejidad y este al ser el primero es el mas simple, este axioma es equivalente por ejemplo al doblado de una diagonal en nuestro cuadrado de unidad.

El segundo axioma es equivalente por ejemplo al igual que el primero al doblado de una diagonal esto se hace superponiendo dos esquinas contrarias en nuestro cuadrado o uniendo dos esquinas contiguas doblando así la mediana de nuestro cuadrado de unidad.

El tercer axioma es equivalente al doblado de media base cometa, o simplemente cualquier bisectriz en el cuadrado como por ejemplo puedes tomar dos lados contiguos del cuadrado y posar uno sobre el otro doblando así una diagonal de este bisectando el ángulo de 90º.

Una línea perpendicular a otra se puede construir en origami simplemente poniendo un extremo de la línea sobre ella misma, ahora el punto P1 simplemente dará la altura a la que esta pasando la perpendicular. ¿Puedes construir una recta paralela a una recta extraña?

Para mirar este axioma de la manera más simple diremos que es equivalente al doblado de una diagonal. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado foco y una recta llamada directriz de la parábola, en otras palabras el incremento es tangente a la parábola con foco P1 y directriz L1.

El proceso consiste en posar varios puntos arbitrarios o referenciados de L1 sobre P1. P1 actúa como foco de la parábola y L1 como directriz de esta. Vemos como es posible formar una parábola a través de sus puntos tangentes simbolizados en el dibujo con círculos.

Si tomamos uno de los puntos de L1 y lo posamos sobre P1 y doblamos una línea perpendicular a L1 al momento que esto se este ejecutando podremos comprobar la definición de parábola observando así que todos los puntos de la parábola equidistan del foco y de la directriz.

El (O5) es la base para la demostración del teorema de haga el cual veremos mas adelante.

Ya hemos visto que el hecho de poner un punto sobre una línea forma una tangente a una parábola, el axioma 6 es la duplicación del axioma 5, entonces es equivalente a plegar una tangente común a dos parábolas, esto es porque existe una parábola con foco P1 y directriz L1 y otra parábola con foco P2 y directriz L2. Ahora además este pliegue es equivalente a resolver una ecuación cúbica lo que veremos mas adelante.

En las entradas anteriores hemos visto como podemos analizar algunos tipos de proporciones en función de la diagonal del cuadrado, ahora veremos el teorema de haga el cual nos permitirá determinar diferentes tipos de proporciones racionales e irracionales.

Para poder demostrar esto iremos mas haya que obtener la solución particular que plantea el problema, esto es generalizar para cualquier valor de “x” que será nuestra variable independiente.

Analicemos la situación, lo que estamos haciendo al poner el punto F sobre la recta IJ es forma una media parábola la cual tendrá foco F y directriz IJ, esta parábola se esta abriendo hacia el vértice H el cual será nuestro ultimo punto tangente en el cuadrado. Si posamos el punto F sobre I lo que estamos haciendo es doblar la recta tangente al vértice de la parábola, la cual a la vez es equivalente a doblar la mediana del cuadrado.

La figura anterior ilustra como hemos coordenado nuestra parábola, ahora debemos tener en cuenta un par de teoremas bastante simples los cuales nos ayudaran a resolver el problema. (Pitágoras; Tales)

La primera parte es determinar la ecuación de la parábola que estamos doblando y puesto que el vértice de la parábola esta en el ½ la parábola tendrá como ecuación base.

Es fácil ver que como la parábola pasa por el punto H que esta coordenado en el (1,1) es posible obtener la ecuación completa. Puesto que el lado de nuestro cuadrado es igual a 1 podemos empezar a determinar los demás lados mediante el teorema de tales y el teorema de Pitágoras.

El lado “z” lo hemos obtenido a través del teorema de Pitágoras, el lado “c” es simplemente lo que no a ocupado x por eso es (1-x), los lados a, b, e han sido obtenidos a través del teorema de tales y por ultimo los lados d y f simplemente por resta de segmentos. Verifícalo!

La idea es despejar todos los valores de nuestros lados en función de x para así poder ingresar un valor conocido para poder obtener las distintas proporciones.

Ahora, el teorema decía que si x=1/2 el lado a será 2/3 y que además los lados de los triángulos estarán en razón 3,4,5 verifiquémoslo!

Además de esto podemos demostrar los corolarios de teorema.

Tres de los cuatro corolarios están presentados acá, el ultimo puedes verificarlo con un poco de algebra al igual que el de la relación de los triángulos.

El teorema de haga nos entrega una herramienta muy útil en el ámbito de la construcción geométrica, ya que con esto podemos hacer las famosas grillas que nos permiten hacer los tediosos box-pleating además de determinar una infinidad de valores.

Duplicación del cubo.

La duplicación de un cubo esta dada por obtener un cubo que posea el doble del volumen de otro, este problema es clásico en la geometría con regla y compás, en la cual no es posible de resolver puesto que esto equivale a resolver una ecuación de tercer grado.

El problema en si radica en obtener el termino 2^(1/3) o dos segmentos que estén en esa proporción. Puesto que el volumen esta dado por la multiplicación del largo por el alto y por el ancho y que un cubo tiene lado a su volumen será a^3 luego el volumen del cubo resultante debe ser 2a^3

Peter messer es el autor de esta simple forma de plegar esa proporción.

Vamos a verificar esta relación mediante el teorema de haga, a pesar que este pliegue hace uso del axioma 6 y veremos como se forma una ecuación de tercer grado.

Utilizando la generalización para el teorema obtenemos los valores en función de x que están actuando, pero observemos que no conocemos el valor de x, con lo que podría pensarse que la aplicación del teorema no es válida, pero observemos la siguiente figura.

Vamos a restringir los valores de b y c para hacerlos conocidos, con esto obtenemos una nueva relación y usando el teorema de Tales obtenemos:

Para poder resolver la ecuación debemos escribirla en su forma general, esto se hace a partir de sencillos pasos algebraicos.

Notemos como se ha formado una ecuación de tercer grado cuya solución para x satisface la relación. Como el lado “c” originalmente tiene un valor 1-x es posible obtener su valor real y gracias a esto el problema esta verificado. Gracias a esta relación nosotros podríamos construir perfectamente un cubo que posea el doble del volumen de otro cubo, si lo miramos del punto de vista de la entrada anterior podemos extraer dos rectángulos gracias al pliegue hecho y a partir de ellos fabricar dos cuadrados que con el modulo para el cubo formaríamos la visualización de manera rápida.

Ecuación cúbica.

Habíamos dicho que el axioma 6 es equivalente a una ecuación cúbica y ahora veremos porque.

Tomaremos 2 puntos P1 y P2 con coordenadas (p,1) y (r,q) respectivamente y dos líneas L1 y L2 con ecuaciones y+1=0 y x+r=0 respectivamente, la hipótesis dice que poner el punto P1 sobre L1 y P2 sobre L2 al mismo tiempo la pendiente del doblez será solución de la ecuación x³+px²+qx+r=0.

Al hacer el dibujo de la situación notarás que el vértice de la parábola se encuentra en el punto (x1,0). El operador diferencial nos permite obtener la recta tangente a una curva en un punto dado, en el caso de la p1 el punto tangente será (x1,y1).

La ecuación de la parábola para este caso es distinta puesto que p2 está con eje de simetría horizontal y no vertical como era el caso de p1, ahora la ecuación general de la parábola será (y-k)^2 = 4p(x-h), haciendo el dibujo de esto veremos que el vértice de la parábola esta pasando por el punto (r,0), luego diferenciando obtenemos la ecuación de la recta tangente a p2 en el punto (x2,y2).

Una vez hecho esto es necesario igualar las ecuaciones “u”, diciéndolo en términos simples asegurarnos que las parábolas están trabajando juntas haciendo uso del axioma 6.

Con esto hemos mostrado que la construcción con el axioma 6 es equivalente a una ecuación cúbica, pero ¿como sabemos que el lo que estamos resolviendo?

Hace un rato dijimos que una de las cosas que la geometría clásica no había sido capaz de resolver era la duplicación del cubo que perfectamente puede ser el resultado de la ecuación x³-2=0, y otro de los problemas era la trisección de un ángulo que al igual que la anterior es resultado de una ecuación cúbica. Pero ¿como relacionamos los términos de la ecuación cúbica con puntos y líneas constructibles en origami?.

Solución de la ecuación cúbica.

La situación nos plantea el hecho de conocer 2 punto C y D coordenados (a,b) y (c,d) respectivamente y la acción de posar siempre C sobre el eje Y y D sobre el eje X simultáneamente obtenemos la recta que esta pasando por BF, ahora ya sabemos que la recta BF es la representativa de la solución de la ecuación cúbica planteada y lo que haremos será relacionar los coeficientes de la ecuación con los puntos coordenados.

Lo primero que debemos tener en cuenta es la siguiente condición.

Esto significa que la solución que encontraremos será del tipo real y no imaginaria conjugada.

Entonces lo que haremos es coordinar los puntos B y F respecto de las coordenadas C y D.

Observemos que primero determinados los tramos OG y OA mediante un poco, pero bien poco de trigonometría. Los puntos B y F se encuentran justo a la mitad de los tramos AC y DG.

Una vez despejados los valores de las coordenadas B y F debemos calcular la tangente t del ángulo alfa, es interesante notar en que puntos el ángulo alfa se esta formando, esto es equivalente a una rotación del plano en el ángulo dado.

Al ingresar los valores en t obtenemos una nueva ecuación cúbica la cual esta en función de los puntos C y D y por comparación podemos relacionarlas y poner a, b, c, d en función de p, q y r y así poder coordinar nuestros puntos que serán colocados sobre los ejes OY y OX. Gráficamente la situación es la siguiente.

En la figura anterior podemos ver como se han formado las dos parábolas en acción al momento de ejecutar el axioma 6 para un caso general, notemos que la parábola con foco C tiene eje de simetría horizontal y que la parábola con foco D tiene eje de simetría vertical, además de esto podemos observar por donde esta pasando la común tangente a las parábolas.

Con esto podemos resolver ecuaciones cúbicas con doblado de papel y pondremos un poco de práctica en aquello.

Resolvamos la duplicación del cubo a partir de la ecuación x^3 -2=0, a partir del análisis anterior obtenemos

p=0 ; q=0 y r=-2

mediante el análisis anterior determinamos que

a=1 ; b=1 ; c=1/2 y d=2 y por lo tanto tenemos los puntos C=(1,1) ; D=(1/2,2) ahora lo que haremos será coordinarlos en nuestra hoja de papel.

Notemos que a pesar de haber cambiado de altura los puntos C y D se siguen posando sobre Y, y X respectivamente. La razón entre los lados en que L1 corta a nuestro cuadrado es 2^(1/3) o raíz cúbica de 2.

Trisección de un ángulo

Para resolver la trisección de un ángulo con origami necesitamos resolver una ecuación cúbica cuya solución sea el ángulo trisectado. Por ejemplo.

Por el análisis de la ecuación cúbica en origami podemos determinar los valores de a, b, c y d para coordenarlos en el nuevo plano.

Vemos que para este caso

p= -3S; q= -3 y r= S con esto obtenemos que a=1; b=S ; c= -1 y d=-S , así vemos que los puntos a coordinar serán C=(1, S) y D=(-1, -S).

para poder obtener la solución será necesario coordinar un plano que a diferencia del que usamos para la duplicación del cubo deberá estar en función de x y S. observar que S viene dado por la tangente del ángulo total.

Si tomamos un valor en el eje x=1 obtenemos un valor para tg3α= s, luego de esto coordenamos nuevamente el plano para mayor comodidad tomando las referencias de la altura de ángulo (S) y el largo del ángulo (x).

Notamos que hemos plegado hasta ahora es la recta solución de la ecuación de tercer grado, L1 representa una rotación del plano, esto quiere decir que el plano original a tenido una rotación igual a α grados, así que lo que debemos hacer es trazar una recta perpendicular a L1 y que a la vez pase por w para terminar trisectando el ángulo 3α.

Las aplicaciones de la matemática en el origami son muchas más que las que he presentado acá. He tratado de mostrar las cosas que para creadores destinados a la obtención de proporciones o números particulares en sus creaciones serian más útiles.

Mis agradecimientos al señor Hatori Koshiro.

Nicolás Gajardo Henríquez 2008

Módulo, módulo, módulo, módulo…

No soy un gran doblador de módulos y menos aun un fanático, pero hace poco tiempo que me han empezado a atraer de manera peligrosa, a tal punto que he dejado un poco de lado la creación a la que estaba acostumbrado (pero nunca tanto).
La palabra módulo tiene varias acepciones en la vida cotidiana pero la que se relaciona mas al mundo del origami es la siguiente:

Modulo: elemento combinable con otros de la misma naturaleza o que concurren a una misma función.

La definición anterior es genérica pero en origami módulo significa figurita relativamente simple que debe ser doblada una y otra vez … una y otra vez!!!, hasta que se llegue a un determinado numero que permita el ensamble y que converjan juntas a algo que se llama modular.

Todos hemos doblado alguna vez un modular, incluso en mis tiempos de rebeldía frente al papel cuando lo único que buscaba era la siguiente figura ultra compleja que plegar.

Siguiendo con mi ignorancia modular me tocó un día plegar un par de estos que una amiga me había dicho que intentara porque ella iba a intentar un modelo mío, entonces fue así como plegué un par de módulos bastante sencillos, pero mi curiosidad fue mas allá…

El modelo final se veía bastante bien y eso me hizo plantearme la posibilidad de crear un par de módulos
¿Pero como se crea un modulo?

O quizás antes de esa pregunta debería preguntarme
¿Qué voy a crear con módulos?

Algunos de los expertos en este tema me golpearían por tan básica pregunta (xp), la cosa es que crear módulos para mi es nuevo, porque la mayoría se acostumbra solo a doblarlos o a hacer figuras nuevas con módulos ya inventados, pero observando con mas calma el mundo modular es todavía mas complicado formularse estas preguntas, entonces ¿Qué hacer?

El mundo modular esta formado en gran parte por composiciones de tipo geométrico, esto es, representaciones de sólidos o cosas que parecen sólidos geométricos básicos, con algunas variaciones interesantes, el punto está en que casi todo esto ya esta hecho, pero para nuestro ejercicio estudiaremos como se construyen algunos sólidos básicos mediante origami modular.

El origami modular lo considero un diseño orientado a formas y planos, pero aquí vas un paso adelante, esto es, si vamos a representar una figura real parametrizable en pequeñitas figuritas igualitas (valga la redundancia) es necesario conocer esta figura en particular y no conocerla a la rápida, si no que hay que estudiarla a fondo, esto es determinar sus ángulos, longitudes de aristas, saber el numero de vértices y cosas por el estilo.

Sólidos platónicos

Existen 5 sólidos platónicos: el cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Las propiedades de estos sólidos están determinadas por ser poliedros convexos que están compuestos por polígonos regulares del mismo tipo y todas sus esquinas en cada sólido son todas las misma. Los solidos platónicos son también llamados sólidos regulares o poliedros regulares. Otra característica importante en ellos es su dualidad o reciprocidad que esta referida a la posibilidad de construir uno de ellos a partir de otro.




El cubo (Hexaedro)

Paralelepípedo rectángulo cuyas aristas y ángulos son iguales.
Todos hemos tenido un cubo en nuestras manos, de cierto modo es el mas simple, porque ya que estamos acostumbrados a trabajar con hojas cuadradas y por ende las caras de un cubo no deberían ser problema, puesto que como son cuadradas podemos saber como construir una sección cuadrada, el punto es que los módulos tienen algo que es muy importante y haciendo una abstracción de lo que digo en este blog diría “no vale cortar” y tampoco pegar, por esta razón es necesario pensar en una unión, una tranca que nos ayude a que la figura no colapse con cualquier movimiento, es por esta razón que hay que poner un “poquito harto” de ojo en aquello.
Aprovechando que el cubo lo vemos como el más desvalido de nuestros sólidos de estudio hasta el enganche será fácil, así que:

Diagrama rápido de cubo modular

Notamos que ha sido bastante simple construir algo como esto, ya que dos caras contiguas son suficientes para generar un enganche, además de notar que hemos construido una sección cuadrada con dobleces paralelos a la hoja con proporciones totalmente arbitrarias.

¿Ahora podría ser posible generar otro cubo con la misma idea de enganche pero con alguna variación en la cara visible?

Siguiendo con el proceso nos encontraremos con algo interesante.

El Tetraedro

Poliedro de cuatro caras, en si es una pirámide de base triangular, esta compuesto de 4 triángulos equiláteros. Equilátero significa de lados iguales y puesto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º quiere decir que cada ángulo mide 60º.

Ahora ¿sabemos formar un ángulo de 60º?
¡Si no lo sabe, yo le enseño! XD

Diagrama rápido de formación de ángulos de 60º

Ahora ¿Cómo vamos a abordar el tetraedro?
¿Lo separaremos por caras al igual que el cubo?
Podría ser, pero se me ocurrió esto: separar el tetraedro en dos módulos compuestos cada uno obviamente por 2 triángulos equiláteros pero unidos por uno de sus lados.
Una vez que ya he decidido la sección que voy a utilizar debo pensar en el ensamble, con lo poco que sabia de modulares cuando inventé este lo diseñé con un sistema bolsillo-aleta (sistema predominante en el ensamble de módulos).

Diagrama rápido del módulo para el tetraedro

Notar que al haber decidido construirlo a partir de 2 secciones nos encontramos que ambos módulos deben ser el espejo del otro, por consiguiente no es posible ensamblar un tetraedro si estas unidades son iguales. Pero esto tiene una ventaja, ya que hemos reducido de manera considerable el numero de partes de nuestro modelo, lo que lo vuelve mas simple y al ser distintas más dinámico. (En todo caso no le alcanza ni siquiera para ser tedioso).

Diagrama del ensamble para tetraedro

Sin querer queriendo ya tenemos 2 unidades iguales-opuestas que no hemos probado por si solas pero que unidas trabajan bien, entonces debemos seguir adelante.




El Octaedro

Es un sólido compuesto como su nombre los dice por ocho caras, caras que son triángulos equiláteros.
Otra vez triángulos equiláteros, entonces ¿será posible construirlo con los módulos anteriores?
Si observamos el octaedro con calma notaremos que es parametrizable en 4 secciones compuestas por 2 triángulos equiláteros unidos por un lado lo que nos daría un total de 4 módulos.

Diagrama del ensamble para octaedro

Si ocupamos nuestro modulo anterior notaremos algo interesante, puesto que nos quedamos con la duda de que era capaz de hacer por si solo nos encontramos con que a partir de 4 unidades iguales es posible construir un octaedro y problema solucionado.

Suponiendo que intentaste crear tu propio tetraedro a partir de una unidad por cara ¿es posible construir un octaedro a partir de esa misma unidad?

El Icosaedro

Sólido que tiene veinte caras planas compuestas cada una por un triángulo equilátero.
Al igual que los dos sólidos anteriores es posible parametrizarlo en 10 módulos compuestos cada uno por 2 triángulos equiláteros.

Si observamos la malla más simple de formación de un icosaedro notaremos que en esta ocasión haremos uso de los dos módulos opuestos, esto es 5 de cada uno y se ensamblarán así.

Ensamble de módulos para el icosaedro

El modulo diseñado a sido bastante efectivo, pero aun no lo hemos dimensionado en su totalidad, puesto que tiene muchas otras aplicaciones y esta en cada uno explorar las composiciones de otras figuras en las que pueda ser ocupado por si solo o en combinación con su reflejo por ahora un ultimo ejemplo para esta unidad pero con el desarrollo de tarea.

El Dodecaedro

Poliedro de doce caras cada una compuesta por un pentágono regular.
Los pentágonos podría decirse que son uno de los puntos débiles de los origamistas y del mundo matemático en general, una de estas figuras es difícil de construir, puesto que es complicado de referenciar, por esta razón la mayoría de los pentágonos que se puedan formar a través del origami son aproximados, esto es con variaciones angulares de 1º o quizás un poco mas, sin dejar de mencionar que existe una forma de construir un pentágono regular de una manera bastante exacta (mediante un argentic rectangle), por esta razón tenemos que tener en cuenta que la determinación de ángulos que hagamos debe ser lo mas cercana posible al original, porque como todos sabemos cuando existe error el error crece a medida que se ejecuta una misma acción errónea.

Ahora ¿Cuál elegiremos como nuestro modulo para construir el dodecaedro?

El modulo que nos a ayudado más hasta ahora a estado compuesto a partir de dos caras de un sólido de n caras, pero en este caso cuando me enfrenté al problema me di cuenta que me costaba determinar un pentágono, menos me iba a poner a inventar un modulo con bolsillos y aletas compuesto de 2 pentágonos, así que volviendo a lo natural y acordándonos del desvalido pero sabio cubo decido construir un modulo por cara, esto es 12 módulos en total.


Diagrama rápido para modulo pentagonal

Determinación de ángulos para el pentágono

Los valores de las proporciones están tomados reverenciados en la diagonal de un cuadrado de lado 1, entonces por eso se puede observar en la figura1 dos proporciones distintas que en sí son la misma. La que esta sobre la diagonal se obtiene al posar uno de los lados del cuadrado sobre la diagonal bisectando así uno de sus ángulos, puesto que la diagonal mide √2 y el lado 1 posando este último sobre la diagonal provocamos una resta de segmentos que se interpreta como √2-1:1, que se lee raíz de 2 menos 1 es a 1, puesto que esa es la relación que existe desde que comienza la diagonal al punto y desde el punto hasta que termina la diagonal. La segunda proporción en la figura 1 es la conjugación de la primera puesto que la diagonal de un cuadrado mide A√2 siendo A la medida del lado del cuadrado si nos encontramos con un cuadrado que su diagonal mide √2-1 su lado medirá (√2-1)/√2.
En la figura 2 se observa una proporción que dice (√2-1)/2√2 la cual es resultado de llevar el lado inferior de cuadrado al punto en cuestión lo que nos lleva a dividir en dos partes iguales la segunda proporción de la figura 1, además se muestra la creación de una línea que une dos referencias, la inclinación de este segmento nos dará la mitad del ángulo que buscamos puesto que ella se debe espejar hacia el lado contrario completando el arco.
En la figura 3 se pueden notar dos ultimas proporciones que corresponde a los valores de 2 de los tres lados que contienen al ángulo en negro, con esto y un poco (pero bien poco!) de trigonometría podemos determinar el ángulo negro. Mediante la función tangente que relaciona el lado opuesto dividido con el lado adyacente de nuestro ángulo (notar que estos lados son los que conocemos; si se tratara de otra combinación se deben utilizar las funciones seno o coseno según corresponda), luego de obtener ese valor se aplica arco-tangente (arctan), que lo que hace (para que la gente bonita entienda) es invertir la función tangente y la convierte en un determinado ángulo, en términos aun mas sencillo es como elevar al cuadrado un numero y luego extraer su raíz, es un ir y volver.

El modulo pentagonal original no tiene esta proporción, es mas exacta pero los procesos para llegar a ella son mas tediosos por eso la determinación del ángulo lo hago con esta sencilla proporción, además que con esto el ejemplo es mas general, así obtenemos un ángulo de 109.47º que corresponde a uno de los interiores de nuestra figura, puesto que el pentágono regular tiene 5 ángulos de 108º tenemos un error de 1.47º, ahí hay después un poco mas de trabajo en tratar de disminuir ese error.


Debo agregar que en el mundo modular y antes que cualquier sabiondo en módulos lo diga existen variados tipos de formas de representar estas mismas figuras, ya que las que hemos explorado hasta ahora han sido solo los referidos a las caras de las figuras, existen también los modulares, tipo marco que son aquellos que forman solo las aristas de la figura que en general nos permiten observar el modelo desde dos perspectivas, dentro y fuera.
Ahora, seria un buen ejercicio para los que quieran especializarse en esta área crear sus propios modulares a partir de caras y luego de marcos, o vise-versa.

En si hasta ahora hemos visto una resolución muy simple de módulos para figuras que no se ven y que en general no son muy complicadas, pero el mundo de la geometría es muy fértil, existen las llamadas stellations (estelaciones) y es a estos a lo que le echaremos una miradita ahora.

Estelaciones

La estelación es un proceso por el cual se construyen nuevos polígonos (en dos dimensiones), nuevos poliedros (en tres dimensiones), o en general nuevos polytopes de n dimensiones. El proceso consiste en extender elementos tales como son los lados o las caras planas, usualmente en una dirección simétrica, hasta que se unan con otra de nuevo. La nueva figura es una estelación de la original.

Ejemplo con estelación pentagonal.

Al momento de mirar modelos de este tipo la primera impresión no es para nada desagradable, los sólidos estrellados no son para nada despreciables si no mas bien bastante llamativos y más para los que estamos acostumbrados a pensar en puntas en origami (mientras mas puntas mejor).
Ahora ¿Cómo vamos a construir una de estas maravillas geométricas?

Hagamos un poco de memoria…
Mas de alguno de debe haber llamado la atención que el modulo para el tetraedro, octaedro y icosaedro era a partir de una hoja rectangular de 1:2 (uno es a dos), eso tiene una razón particular, para efectos prácticos de construcción del modulo no es necesario el resto del papel puesto que nos encontraríamos con un mayor grosor que en si solo dificultaría mas su doblado y/o su ensamble. Ahora el hecho que se puedan construir a partir de diversas figuras ya sean rectángulos, triángulos u otra figura fundamental es porque sus orientaciones angulares, longitudes o secciones no son aptas para un cuadrado, pero si quieres hacer algo mas artístico y jugar con los colores los módulos se puede construir desde un cuadrado obteniendo resultados interesantes.

En la figura anterior aparecen tres estalaciones de las cuales dos son muy similares, (similares en el modulo que podríamos utilizar) si observamos el dodecaedro estrellado (segunda figura) y el icosaedro estrellado o gran dodecaedro estrellado (cuarta figura) veremos que sus diagramas de cara son el mismo, esto es porque tienen los mismos ángulos y la misma cantidad de secciones por cara, luego que determinemos los ángulos a utilizar pondremos manos a la obra en el papel y construiremos un modulo común para ellas.

Lo primero que se me ocurrió fue hacer el módulo basado en el modulo en 60º que usamos para el tetraedro pero aquí aparece algo nuevo y que se refiere a lo que hablamos de constructibilidad del modulo y a partir de que figura fundamental se debe iniciar.

Dijimos que cada ángulo interno del pentágono tenía de mesura 108º, ahora por propiedad de un ángulo extendido sabemos que el ángulo contiguo es 72º, luego como el triangulo superior corresponde a un isósceles sabemos que tiene 2 ángulos de 72º y el que falta es la suma de los dos anteriores restada a 180º que es la suma de los internos y con esto determinamos que el ángulo superior es 36º.
Como estábamos pensando en el modulo en 60º decido que el lado mas largo del rectángulo vale 1 y su lado mas angosto ½ y puesto que en el lado mas largo llevábamos los extremos al centro funciona como que lo dividiéramos en cuatro partes iguales, por eso uno de los catetos mide 1/4.

Notemos que la magnitud X es superior a la medida del ancho de nuestro rectángulo inicial puesto que este tiene de lado 0.5 y X mide 0.769…, entonces en este caso nos conviene que sea un cuadrado la figura a utilizar.
En este punto estamos partiendo un paso antes para la determinación del ángulo en comparación con lo que hicimos para el dodecaedro, aquí sabes cual es nuestro objetivo que es el punto en el cuadrado con mesura “X”, ahora tenemos que tener en cuenta que al igual que en el ejemplo anterior saber el objetivo es importante pero la puntería se gana con práctica.

Notemos como la proporción inicial se refleja en la parte superior del cuadrado (segunda figura), de la misma manera podemos determinar el resto de la proporcionalidad de este pliegue que en términos simples es lo que falta para llegar a 1. Llevando el lado superior hasta la marca en el lado izquierdo del cuadrado producto del pliegue trazando así una mediana en el segmento y obtenemos (√2-1)/2, esto sumado con el valor 2-√2 obtenemos el valor (3-√2)/2 que desarrollado es aproximadamente 0.7928…. Sabemos que para efectos del ejercicio nos perdonamos un error y utilizamos esta medida para determinar el ángulo y obtenemos uno de 17.5º lo que nos da un error de 0.5º, menor al obtenido en el pentágono, por consiguiente el ángulo total a desarrollar será de 35º.

Este es el plano del modulo que tiene la misma distribución que su antecesor en 60º.
La estelación restante es una buena tarea para quien quiera desarrollarla.
Existen muchas figuras de este tipo algunas hechas a partir de las caras o a través de los marcos y no podía dejar de mencionar a la mas famosa de todas las estelaciones (en origami), esta es a partir de un icosaedro y también es conocida como los cinco tetraedros intersectados.

Cinco tetraedros intersectados




Esta figura es una de los modulares más famosos, es enigmático, a la vez un puzzle desafiante y para que decir de la visión final que no es menos espectacular.
Tom Hull es el Papi de este modelo, ya que es quien desarrollo el marco tetraédrico para generar el FIT, el cual se puede encontrar para quienes quieran plegarlo en su Web.
Ahora al final del instructivo aparecen una preguntas y un desafío en particular, construir este objeto de manera sólida, en el mundo deben haber muy pocos además todos los autores son lo bastante mezquinos para querer enseñarlo, entonces ¿que nos queda?
Hacerlo!!!

Como dije anteriormente este objeto es producto de la estelación de un icosaedro.

Observemos que las secciones en amarillo son las que representan cada cara sobre saliente de un tetraedro en el objeto, podemos advertir por su composición que necesitaremos tres módulos por punta lo que nos da un total de 60 módulos para el objeto final. El problema no se detiene allí, la sección mostrada en el diagrama de caras no es un amable puesto que presenta un quiebre muy importante, así que lo que haremos será redefinirla.

Lo que he hecho es unir ambas secciones haciendo que coincidan con su lado de igual longitud y con esto también poder separarlas, esto significa que puesto que ambas secciones poseen ángulos que no son amables entre si es mejor dibujar esta sección en un rectángulo 2:1, así sacando cada una desde su propio cuadrado. Notar además que en el lado izquierdo he hecho una completación de ángulo, para así formar un ángulo de 60 y reducir dificultades. Como hipótesis se emplea que la parte que añadí para formar el ángulo de 60º quedara bajo la porción del lado derecho no afectando así al modelo además de facilitar el enganche.

Notemos que los ángulos son bastante constructibles y además al momento de inscribir nuestra sección en el rectángulo con un par de proyecciones rectangulares entre si pero en 45º en la hoja podemos determinar a la altura que se presenta el quiebre que separa ambas secciones en la parte baja.
Una vez hecho esto nos queda una importantísima parte de la cual no hablamos desde la hora pasada (XD).

Aletas y bolsillos

En las figuras que estudiamos hasta ahora notamos que poseían dos aletas y dos bolsillos iguales lo que no era problema, pero si miramos el FIT este debe poseer por nuestro tipo de modulo dos tipos de enganches distintos, uno que construya las puntas de los tetraedros y otro que genere esas especies de estrellas retorcidas en que se intersectan los tetraedros.


Ahora vamos a dejar de lado el BLA-BLA y pondremos manos a la obra.
Aquí les presento un resumen del diagrama que hice para el modulo del FIT sólido, espero lo disfruten y puedan plegarlo sin mayores problemas.

Descripción

Como ya dije anteriormente el modelo se resume a 60 módulos en acción aquí les presento el ensamble del modelo, el cual consta de 2 partes, recomiendo ensamblar primero la parte 2 esto es crear todas las estrellas que constan de 5 módulos cada una haciendo un total de 12 estrellas y luego que estén formadas continuar uniendo estrellas mediante el ensamble 1, esto es importante, porque podemos notar que ambos ensambles difieren de manera considerable y no por la forma de ensamble, si no por su posición, puesto que el ensamble 1 es un ensamble externo y el ensamble 2 es interno entonces seria muy difícil crear todos los cascos de los tetraedros y luego querer unirlos armando las estrellas puesto que llegado el final no podríamos cerrar el modelo porque no hay forma de introducir dedos ni herramientas para generar los ensambles.

Pido disculpas por la foto del FIT, puesto que cometí un error en el poseso de ensamble y me quedaron los colores revueltos en vez de quedar formando los tetraedros coloreados correctamente, pero como dije hace 2 horas atrás “No soy un gran doblador de módulos y menos aún un fanático, pero hace poco tiempo que me han empezado a atraer de manera peligrosa”.

Abrazos a todos y espero links para ver a los valientes que se atreven con un FIT sólido.

… modulo, modulo, modulo, modulo… MODULAR!!! Uff! (XP)

Caballos

A menudo cuando inicio un proceso creativo es inevitable toparse con figuras en la mente tan comunes como son los animales, en especial los cuadrúpedos, estos personajes son fundamentales en el origami ya que esta actividad está directamente relacionada con su representación, en todo caso resulta mucho mas llamativo doblar algo como esto en vez de algo inanimado como puede ser un a prestobarba, un refrigerador, un computador o cualquier cosa que no mueva demasiadas pasiones en un “artista” en potencia…

El hecho está en que dentro de millones de animales existentes están los “caballitos de batalla” que como dice la expresión aparte de ser como una carta de presentación los caballitos son de batalla y de mil y una.

Resulta que nadie parece escapar de su encanto y más aún cuando te dedicas más a crear que a plegar, siempre hay uno o más caballos en el repertorio, entonces ¿como se construye un caballo?

Recuerdo que el primer caballo que doble fue hace unos años y tenia la “gracia” de doblarse a partir de dos hojas, mas precisamente a partir de dos base de pájaro, creo que cualquiera que practique el doblado debe haber pasado por ese caballo o por lo menos cerca, entonces cuando me tocó crear mi primer caballo yo quería que fuera de una sola hoja y si lo que tenía para hacerme a la idea de cómo era un caballo de origami era con dos, ¿Cómo lo hago?

Después de un saco de manzanas en la cabeza dije:

¡Con las dos bases en una misma hoja! (cueck!)

Pero… ¿como deben ir puestas?, ¿Qué proporción debe tener cada una en la hoja?

Para hacer mas corto el problema en ese tiempo además de mi inexperiencia como creador elegí una proporción bastante simple y a la vez guiada por la hipótesis de las dos base de pájaro en una misma hoja. Puesto que para formar el caballo de dos hojas se necesitan que sean iguales significaba que las bases también lo son y que para el ejercicio también. Entonces decido dividir la hoja en cuatro sectores iguales o lo que equivale a simplemente doblar ambas medianas.

La inserción de las bases como se puede ver en la figura consta de tres partes fundamentales, siendo la primera el limitar la zona de acción de cada base, como segundo punto el dibujar las bases y finalmente compensar la figura en dos dimensiones, este ultimo se logra a través de el plegado de una base de pez por lado. Gracias a la construcción de estas bases es posible dar longitud al cuerpo de la figura porque de lo contrario no la tendría, por ejemplo si lo hubiese compensado con más bases de pájaro hubiera dado por resultado una base blintz-pájaro que posee todos los segmentos equidistantes lo que no favorece la construcción de un cuadrúpedo. (si no lo vez claro pruébalo!)

El plegado de la base entrega un problema no menor el cual radica en que longitud del cuerpo es demasiada, los segmentos están demasiado alejados lo que no es bueno, algunos en este punto podrían haber hecho un par de escalonados y ¡listo!, pero esa no es la idea.

Entonces ¿Qué falló?

Resulta que un caballo en origami por lo general esta compuesto por 6 puntas de las cuales 4 son para las patas y 2 son para la cabeza y cola, pero estas puntas no construyen un caballo por si solas, necesitan un tronco también que este bien definido en proporción a los segmentos para así quede armónico.

¿Qué se puede hacer para disminuir la distancia en los segmentos sin necesidad de cambiar la idea fundamental de la estructura?

El primer paso en la inserción de las bases fue el de limitar la zona de acción de la base, entonces lo que debemos hacer es cambiar la proporción.

¿Pero como la cambio, además si las bases ya están en su punto máximo de manifestación y el punto es no variar de la idea original?

Si observamos la base notamos que si las bases de pájaro tienen una proporción menor en la hoja lo que ocurrirá será que los segmentos se separen aun más.

¿Entonces la solución es que sean más grandes en la hoja?

Eureka! (ouch!)

La dificultad de esto radica en que las dos bases deben crecer lo mismo y por tanto ya no se intersectarán en un solo punto como en el primer caso, entonces, proyección e intersección, debemos delimitar la nueva zona de acción de las bases que claramente será mayor a ½ de la hoja.

En el tercer dibujo de la figura se puede notar la intersección de ambas base de pájaro, entonces el truco esta en saber que líneas se van a utilizar y para entender este concepto esta el siguiente dibujo en el cual se nota con claridad las líneas que actúan…

En el plano del lado izquierdo se observa en el centro la intersección de ambas bases y se advierte que la intersección se hizo con los segmentos dominantes, es decir con los que construyen la base. En el plano del lado derecho es para la visualización final de esta base el cual tiene todos los segmentos en la dirección final.

Al plegar la base se puede notar una mejor proporción respecto del primer caso, pero ¿esto ya es un caballo o pasa engrosar la larga lista en la sociedad de cuadrúpedos aNNonimos?

Nuestra base hasta ahora parece funcionar bien pero algo falta, hasta ahora solo es representativa de una figura cuadrúpeda pero todavía no tiene los elementos que la convertirán solo en un caballo. Entonces… ¿Qué hacer?

Si tomamos la base notaremos que la posibilidad de convertirla en un caballo es alta y además por lo general cuando plegamos algún caballo la mayoría de las cabezas se construyen igual, esto es a partir de una sola punta a la cual se le hacen unos pocos contra-dobleces y encrespados.

Es cierto que podemos transformar nuestra base en caballo haciendo este último paso con la cabeza, teniendo en cuenta que esto se puede hacer teniendo el primer pliegue del diagrama (ver fotografía anterior) en valle o en montaña, pero ¿que pasa si se quiere apelar a más?

Resulta que nuestro caballo funciona bien y aparte tiene una estructura fácil de doblar, pero algo falta, sin duda al momento de estar doblado nadie negara que sea un caballo, pero cuando pensaste en tu caballo de origami ¿te lo imaginaste así?

Este tiene un desarrollo muy simple y comparable de la misma manera con su resultado, este último es muy importante y es el que por ahora nos importara.

Hideo komatsu es un renombrado en el mundo del origami, su estilo es muy técnico y llevado a la obtención de planos más que a la obtención de puntas (articulo Román), es común ver en sus planos (CP) un gran numero de líneas a ratos muy confusas pero con mucha lógica en el fondo, son modelos con mucho trabajo ingieneril con lo que yo me aventuraría a decir que vienen con un gran numero de ensayos y error bajo el brazo.

¿Qué convierte a este caballo en especial?

Este caballo posee una imagen muy tradicional en lo que se refiere a representación, de hecho el caballo que hemos diseñado no queda muy distante de él a simple vista (estética), pero la diferencia radica que su figura final la cual respira elegancia y quizás este sea el merito mas grande de esta creación.

Mirando un poco mas el plano de la figura nos encontramos con que al igual que nuestro modelo posee 2 cuadrados dominantes, de los cuales se desprenden las extremidades, cabeza y cola, observamos además que para la cola resuelve de manera muy similar a nosotros, esto es con una media base pájaro.¿Logras identificar el tronco?

Si observamos por la diagonal en la parte que corresponde desde cabeza a la intersección de los cuadrados dominantes se puede observar claramente una especie de canal, el cual permite una de las ventajas de este modelo la cual reside en estar cerrado por el lomo, cuando me refiero a esto significa que el color del reverso del papel no es posible de ver, el canal permite acercar los extremos del papel y acortar así la diferencia que existe entre el tamaño de la hoja y la longitud de los segmentos correspondientes a las patas, porque si se mira otra vez estos últimos son bastante pequeños en relación a la hoja total. Por ultimo la cabeza posee gran parte de las proporciones en el plano, esto sucede por la misma acción del canal antes mencionado ya que al acercar los extremos laterales alarga la cabeza y se aprovecha esta condición para levantar el cuello del modelo y hacer los respectivos quiebres en lo que corresponde a la crin para así mantenerlo proporcionado.

Román Díaz uno de los créditos de este lado del mundo tiene también su caballo, el cual proporcionado a través de las medidas entregadas por una base de pez es otro buen ejemplo. Este caballo goza de atributos como una sección para la crin y una ampliación del tronco que produce el efecto de lo que se podría decir el pecho del animal que característicamente en un caballo va en ascenso a medida que se va de atrás hacia delante, esto lo logra gracias a una expansión de sección en dicha parte con lo cual también regula los anchos de las capas en las patas delanteras para que se asemeje mas a una estructura en 22.5º. Gran parte de la estructura se logra principalmente por un gran triangulo de compensación en el centro de la figura el cual permite crear esa media base pájaro extendida (inferior derecho) que además pliega hacia dentro del modelo para así poder dar la posibilidad que el lomo quede cerrado, luego el modelo es compensado por la bisección de los ángulos correspondientes a las secciones que se encuentran sobre el triangulo de compensación.

Uno de los grandes méritos de esta figura viene dado por el autor, que con gran habilidad “maquilla” para dar postura gallarda y salvaje, todo esto sin mencionar su versión de este mismo caballo con injerto central que da aún más de las dos características ya mencionadas además de realismo. ¡Grande Román!

Kamiya satoshi el hombre que según cuenta la leyenda pliega mejor de lo que camina o habla también tiene su caballo, el cual al igual que los anteriores posee dos cuadrados dominantes de los cuales se desprenden las extremidades del modelo, si bien su estilo no es el mismo que el de komatsu la estructura de este caballo es muy similar, este modelo al igual que los anteriores esta cerrado por el lomo, pero a la vez no, me explico, posee igual que komatsu un canal central el cual levanta la cabeza y proyecta las patas traseras en la dirección final, pero este canal es bastante visible porque al plegar el plano podría ponerse un dedo dentro de el, por esta razón el lomo de la figura final tiene un efecto de caja, esto es tapar el canal dejándolo como un cubo.

La crin es bastante representativa del modelo, puesto que da una visualización un tanto metálica, parece un caballo robot mas que un caballo propiamente tal, esta está construida a través de un acordeón en la parte superior cuya medida el un tercio de la mitad de la cúspide central de la media base pájaro (¿suena raro?) que se puede ver al lado del canal en la crin. Al igual que en el caballo de komatsu el tronco de este caballo esta junto al papel sin uso, que por lo demás es muy poco.

Patricio Kunz , crédito de ¡Chile, Chile lindo! nos desarma el paradigma de construcción de un caballo, puesto que en esta parte nos encontramos con el padre de la simpleza y la ternura, pero el plano de este no es nada tierno. Partiendo con la distribución, este ya no se presenta en forma de estrella como los anteriores, es más complejo y a la vez más fácil de plegar. Claramente se puede advertir una base de pez como elemento fundamental de construcción el cual es trabajado sin desarmar, por esta razón resulta rescatable notar que las patas traseras en este caso salen desde el centro de la hoja en vez que encontrarnos con la estructura tradicional semi-truncada de los anteriores en los cuales se pliega hacia dentro una sección del papel para generar la restricción necesaria para formar las extremidades. La figura final alza el segmento mas largo el cual corresponde a la cabeza para así dejar ver las patas delanteras y erguir el cuello, la cabeza de este se termina muy similar a la cabeza tradicional que antes se mostró, los elementos ya mencionados sumados a la rapidez en el doblado lo convierte en un oasis de papel en el mundo de los caballos.

Este ultimo pertenece a mi repertorio, el cual esta formado por una estructura de 22.5º proporcionada en la división de las medianas en el papel, es muy similar a las ideas que señalaba en entradas anteriores en lo referente a los esqueletos de los cuadrúpedos. Si observamos el cuadrado central formado por las salidas de las extremidades se observa que es muy similar al esqueleto mostrado en la entrada 3 de este blog, pero con una variación en proporción además de un arreglo en las patas traseras que permite acortar el tronco del modelo sin perder ni ganar longitudes si se trata de una base pájaro para la cola y patas traseras, este arreglo como dije solo acorta el tronco.

Una de las cosas que me gusta de este modelo es la posibilidad de crin que se describe a través de dos puntas que salen desde el centro del papel y que permiten formar una melena al viento dando una actitud de velocidad. La cabeza esta formada fundamentalmente por una base de pez la cual permite liberar orejas y una punta para la cabeza propiamente tal, detalle que me agrada puesto que sale del prototipo de la cabeza tradicional.

En general he tratado de mostrar los elementos que trasforman una pila de dobleces en un caballo en especial y que cosas nos pueden servir al momento de crear una figura, como fue por ejemplo un cambio en la proporción además de mostrarles un ejemplo practico de una entrada anterior a esta (proyección e intersección) para no variar mucho las ideas fundamentales, de más esta decir que existen oportunidades en las que nos encontramos con una base que nos gusta pero que por funcionalidad y por elementos faltantes debemos desechar y no temer a hacerlo, el doblar y adquirir experiencia en ello nos proporciona las herramientas para poder discernir de forma “automágica” que es mejor para nuestro modelo y si debemos empezar de nuevo. El crear es un proceso divertido pero también agotador el cual debe tomarse con seriedad, esto es con objetivos, porque sin estos es como aparecer en medio del mar sin un mapa y solo sabiendo que en alguna dirección se encuentra tú casa.

El plegar los planos propuestos aquí ayudara a entender mejor el concepto además de aumentar la posibilidad de visualización de cada punto.

Ahora si ya lo hiciste y no haz creado tu propio caballo inténtalo y hazlo guiándote en características ya señaladas y las habilidades que como plegador tengas.

Solo una ultima pregunta

¿Es posible construir un caballo simétrico por la mediana de la hoja?

Si crees que sí apúntate para la experiencia de crear algo nuevo y más complicado en vez de pasar en tu casa haciendo grillas monstruosas y modelos que tu mente olvidará.

Juguemos a crear doblando.

Saludos y abrazos a todos

Nicolás Gajardo Henríquez

Cuando no pliego

Cuando no pliego pienso mucho al igual que lo hago cuando pliego, pero la diferencia es que cuando tengo las manos desocupadas recuerdo muchos eventos de mi vida y entre romances furtivos y historias vandálicas de niño aparece el origami y en particular una frase que una vez vuelto de la convención de Purranque el año 2007 leí en mi libro de convención que decía textualmente lo siguiente

“Trata de crear algo que no se haya inventado ya”

Voy a omitir la identidad del culpable para evitar represalias… la cosa es que ese año había llegado con un gran surtido de modelos y un par de diagramas bastante decentes, ¡pero el maldito(a) tenia razón! muy pocas cosas de las que había llevado no tenían una versión anterior, entonces me surgió la duda… ¿es necesario ir en la búsqueda de formas nunca antes vistas en origami o crear lo que realmente me gusta con mi estilo y mi visión?...

Como el tiempo pasaba y la afrenta seguía en mi cabeza, me puse a trabajar de nuevo, entonces pase mucho tiempo googleando y revisando diccionarios ilustrados, libros de naturaleza ultra-extinta y los grandes mangas que marcaron mi niñez. Al cabo de un rato ya tenia un nuevo surtido de modelos bastante buenos, originales, bien plegados y todo lo que se pudiera espera de un modelo y lo mejor de todo no había encontrado una versión anterior, entonces ya muy feliz y con el pecho hinchado de orgullo me decido empezar a mostrarlos de a poco y mi sorpresa es la siguiente porque de una batalla resuelta se llega a otra, y así cuando comienzo a mostrarlos la frase recurrente era

¡Que lindo!, ¿Y que es?

o.O!!!!

Hay veces en las que nos encontramos con modelos que pueden ser muy lindos y llamativos pero a veces están los autores que con suerte ellos saben lo que están presentando o nosotros pasamos por ignorantes. El hecho de ir en la búsqueda de cosas también debe tener sus parámetros porque de otro modo solo el autor disfrutara de las creaciones, no se trata de pasar la vida entera plegando dragones, cisnes y pandas, se trata de poner el toque personal en lo que se esta creando porque como dijo un amigo mió

“Esto del origami es casi como la literatura, los que crean figuras son escritores, los que pliegan figuras son lectores y los que admiran figuras, son los que dices que leen, pero en realidad solo hojean”.

Roberto Soto Prado

Me quedo con ser el escritor y el que quiera leer lo que escribo que lo lea.

Uno de mis modelos mas queridos que presente en la convención purranque 2007 es mi chalcosoma atlas en vuelo, que para la gente bonita es un escarabajo que tiene es una especie de tridente en la cabeza y que además esta volando. El desafió de crear la figura en vuelo era el poder encontrar la manera de que los elitros o sea las alas duras salieran del mismo punto que las alas blandas, esto no parece nada complicado pero cuando se trata de que una sea mas larga que la otra la cosa cambia, en ese tiempo el problema me reventaba la cabeza, ya van a ser 2 años y medio de vida de este modelo. Fue entonces cuando utilice una estructura orientada en 22.5º y con la inserción de una base de pájaro resuelvo el problema.

Para los que lo quieran intentarlo alguna vez pongo estas pocas fotos a su disposición para plegar y comentar

Saludos a todos los que se dan unas vueltas por mi casa

Gracias Tatiana Renom, Beatriz González, Roberto Soto, Patricio Kunz, Víctor (Toño) meneses por esa amistad por sobre el plegado.

Nicolás Gajardo Henríquez